Erst dachte ich, es würde an den Rechten des Dateisystems liegen, aber selbst nachdem ich der Gruppe und allen anderen Schreibrechten gegeben hatte, war kein Auto-Update möglich. Internet fand ich den Tipp den upgrade-Ordner in wp-content zu entfernen. Aber auch dies half nichts. Geholfen hat letztlich ein Eintrag in die wp-config.php:

define('FS_METHOD','direct');

Gefunden habe ich es hier: http://www.hongkiat.com/blog/update-wordpress-without-ftp/

Wie im Blog beschrieben habe ich den Code ganz unten eingefügt in der wp-config.php:

/* That's all, stop editing! Happy blogging. */

if ( !defined('ABSPATH') )
        define('ABSPATH', dirname(__FILE__) . '/');
require_once(ABSPATH . 'wp-settings.php');

define('FS_METHOD','direct');

Wichtig: Vor jedem Update ein Backup von der Datenbank und den Dateien anfertigen.